钱钞面额的设计除了有方便计算之外，还可以示出一个国家或区域*的特性，就像人的名片一样。
全世界都先後被欧洲人统治过，除了中、日、韩、泰、尼泊尔、衣索比亚。我们先看东亚国家的货币
| | 硬币 | 钞 |
| 泰国 | 0.25、0.5、1、5 | 10、20、50、100、500、1000 |
| 日本 | 1、5、10、50、100、500 | 1000、2000（纪念）、5000、10000 |
| 韩国 | 1、5、10、50、100、500 | 1000、5000、10000 |
| 朝鲜 | 0.01、0.05、0.1、0.5、1 | 1、5、10、50、100、500 |
| 台湾 | 1、5、10、20（新）、50 | 100、200（新）、500、1000 |
| 中国大陆 | 0.1、0.5、1 | 1、2（退出）、5、10、20（新）、100 |
我们可以看得出来，２字头的并不多，我暂且称这种系统为１-５
我们再看英国和其前殖民地
| | 硬币 | 钞 |
| 英国 | 0.01、0.02、0.05、0.1、0.2、0.5、1、2 | 5、10、20、50 |
| 美国 | 0.01、0.05、0.1、0.25、0.5（少）、1（少） | 1、2（少）、5、10、20、50、100 |
| 加拿大 | 0.01、0.05、0.1、0.25、1、2 | 5、10、20、50、100 |
| 澳大利亚 | 0.01、0.02、0.05、0.1、0.2、1、2 | 5、10、20、50、100 |
| 纽西兰 | 0.01、0.02、0.05、0.1、0.2、1、2 | 5、10、20、50、100 |
| 新加坡 | 0.01、0.05、0.1、0.2、0.5、1 | 2、5、10、20、100、1000、10000 |
| 南非 | 0.01、0.05、0.1、0.2、0.5、1、2、5 | 0、20、100、200 |
２字头常常出现，我称之为１-２-５。而且币值相近，最大通常为 100。
而荷兰系统的也很有趣
| | 硬币 | 钞 |
| 荷兰 | 0.05、0.1、0.25、1、2.5、5 | 10、25、50、100、250、1000 |
| 荷属安地列斯 | 0.01、0.025、0.1、0.25、1 | 5、10、25、50、100、250 |
| 苏利南 | 0.01、0.05、0.1、0.25、1 | 5、10、25、100、500、1000、5000、10000、25000 |
| 阿鲁巴 | 0.05、0.1、0.25、0.5、1 | 5、10、25、50、100、500 |
我称之为１-２５-５或１-２５
而共产国家大多有３字头前钞，像是
人民币 1953 3 圆
越南 1985 30 Dong
蒙古 1966/1983 3 Turik
苏联 1947/1961/1991 3 Rubles
古巴 1989/1995 3 Peso
你可能认为这是苏共的产物，但是早在 1840 俄罗斯就有 3 Rubles 了
好，在扯了这麽多之後，除了显示文化之外，还有什麽意义？对搜集者来说，一个很重要的东西是稀有的程度，也就是说不同的面额，印制量也不同。
考虑现金交易，１元、２元、３元…，并假设每一种金额出现的机率一样。虽然在现实中每一种出现的机率当然不一样，大额交易出现的机会比较小，但是大额钱钞的市价主要是尤其面额所决定，而货以稀为贵的因素对大额钱钞的市价影响较少。
在１-５系统之下
现金交易个位数是 0、1…9 的机会都是 10%，1 的时候需要一个 1 元，9 的时候需要一个 5 元和 4个 1 元。所以在一次现金交易中 1 元用到次数的期望值是
0.1 (0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 0 + 1 + 2+ 3 + 4) = 2
而 5 元用到次数的期望值是
0.1 (0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 + 1 + 1+ 1 + 1) = 0.5
所以 1 元要印的量是 5 元的 4 倍。同样的道理可以延伸到 10 元、50 元等。
那在１-２-５系统之下呢？
我们要多做一个假设那又是能尽量用大面额就用大面额，6 = 5+1 而不是 2+2+2。计算後的结果是 0.4, 0.8, 0.5。除了知道１、２、５的需求比例以外，0.4 + 0.8 + 0.5 = 1.7 < 2.5 = 2 + 0.5 表示平均只要用 1.7 张个位钞票就可以表示所有的个位数，正合我们的期望。而理论最低值是 1，每一个数字都有一张；理论最大值是 4.5，只有１。
另外，如果一个数字距离它上一层的数字较远（以相除商为准），需要量的期望值就比较高。但是为什麽在１-２-５系统中１和５的需要量不同呢？那是因为１-２-５不是一个完整整除数列，５不能被２整除。所以在导出公式的时候，一定要考虑这两种情况。（事实上其中一个是另一个的特殊状况）
先看比较简单的状况：完整整除数列
在 N 进位的系统下，令 a0, a1, a2, ..., an 为数列，ai < N。令商数列 qi = ai+1 / ai，qn = N / an。ai 和 qi 都是正整数。
在此不赘述计算过程，ai 需求量的期望值是 (qi - 1)/2，符合之前的假设，qi 越大所需要越多。
在不完整数列的情况下，令 ai+1 = aiqi + ri，ai、qi 都是正整数，ri 为正整数或零。
ai 需求量的期望值是 (1/N)((qi - 1)aiqiqi+1...qn/2 + f(ri)qi+1 qi+2...qn + f(ri+1)qi+2 qi+3...qn + f(rn-1)qn + f(rn))。而 f 的定义是 f(x) = 要组成 0, 1, ..., x-1，共需要几个 ai（有 a0 到 ai-1 的帮忙）。当 ri 小或 qi 大的时候，这个公式会趋近於完整数列的公式。
不管是１-５或是１-２-５，我们都可以看到一种不平均分配，不管你如何修改，都没有办法创造出一种完美又对称的系统。这是因为 10 进位的 10 = 2*5。2 不等於 5。如果我们使用 16 进位，16 = 2*2*2*2，可以用１-４（分别需要 1.5 和 1.5）或１-２-４-８（各需 0.5）。两种都呈现一种对称的完美。如果使用１-２-４-８，那不管总数是多少，每一种面额最多只需一张，又是另一种完美。
但是使用 16 进位会有一个小小的坏处那就是乘法表不再是九九而是 FF。是 10 进位的 2.78 倍。
*唉，每次都要讲「国家或区域」才能保持完全的政治正确，例如说香港从来不是一个国家，但是有自己的港币，欧元区有超过十个国家，但是共用一个货币 | |